Question

8．求下列函数在x=x₀处的导数．
（1）f（x）=x•e^2x+1+$\frac{lnx}{\sqrt{x}}$，（x₀=1）；
（2）f（x）=$\frac{tanx}{x}$，（x₀=$\frac{π}{4}$）．

Answer 1

分析 先根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．

解答 解：（1）f（x）=x•e^2x+1+$\frac{lnx}{\sqrt{x}}$，（x₀=1）；
∴f′（x）=e^2x+1+2x•e^2x+1+$\frac{\frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}}{x}$，
∴f′（1）=3e³+$\frac{1}{2}$，
（2）f（x）=$\frac{tanx}{x}$，
∵（tanx）′=（$\frac{sinx}{cosx}$）=$\frac{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$
∴f′（x）=$\frac{x（tanx）^{′}-tanx}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{x}{co{s}^{2}x}-tanx}{{x}^{2}}$，
∴f′（$\frac{π}{4}$）=$\frac{8π-16}{{π}^{2}}$

点评 本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．