Question

3．在△ABC中，cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求：cosC的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角的基本关系求得sinA、cosB的值，再利用两角和的余弦公式、诱导公式求得cosC=-cos（A+B）的值．

解答 解：△ABC中，∵cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$∈（0，$\frac{1}{2}$），∴A∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），或B∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$）（舍去），
故B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{\sqrt{10}}{10}•\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角的基本关系，两角和的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．