Question

14．已知函数f（x）=|x+1|．
（I）求不等式f（x）＜|2x+1|-1的解集M；
（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）-f（-b）．

Answer 1

分析 （I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|-1＞0，化简f（ab）-[f（a）-f（-b）]为|a+1|•（|b|-1|）＞0，从而证得不等式成立．

解答 解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|-1，即|x+1|＜|2x+1|-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1＜-2x-1-1}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤-\frac{1}{2}}\\{x+1＜-2x-1-1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{2}}\\{x+1＜2x+1-1}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．
故要求的不等式的解集M={x|x＜-1或 x＞1}．
（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|-1＞0，
则 f（ab）=|ab+1|，f（a）-f（-b）=|a+1|-|-b+1|．
∴f（ab）-[f（a）-f（-b）]=f（ab）+f（-b）-f（a）=|ab+1|+|1-b|-|a+1|
=|ab+1|+|b-1|-|a+1|≥|ab+1+b-1|-|a+1|=|b（a+1）|-|a+1|
=|b|•|a+1|-|a+1|=|a+1|•（|b|-1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）-f（-b）成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．