Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n）²，设cn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，∴${a}_{1}=2{a}_{1}-\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化为：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$，∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n）²=2n．
c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{（\frac{1}{2}）^{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．