Question

6．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且A＜B＜C，sinB=$\frac{4}{5}$，cos（2A+C）=-$\frac{4}{5}$，求：
（1）cos（A+C）的值．
（2）求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角形函数的关系，以及角的范围，和诱导公式即可求出；
（2）根据两角和的余弦公式和诱导公式以及角的范围和同角的三角函数的关系即可求出．

解答 解：（1）∵A＜B＜C，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，
∴cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB=-$\frac{3}{5}$，
（2）∵cos（2A+C）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（2A+C）=$\frac{3}{5}$，或sin（2A+C）=-$\frac{3}{5}$，
∴-cosA=cos（π+A）=cos（A+B+C+A）=cos[（2A+C）+B]=cos（2A+C）cosB-sin（2A+C）sinB，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$
当sin（2A+C）=$\frac{3}{5}$时，-cosA=-$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
即cosA=$\frac{24}{25}$，
∴sinA=$\frac{7}{25}$，
当sin（2A+C）=-$\frac{3}{5}$时，-cosA=-$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$=0，
即cosA=0
∴A=$\frac{π}{2}$（舍去），
故sinA=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系以及两角和差的余弦公式，属于基础题．