Question

12．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1．
（Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F任作直线l，交曲线E于A，B两点，交直线x=-1于点C，M是AB的中点，求证：|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，点P的轨迹E是以F为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，由此能求出E的方程．
（Ⅱ）设点A，B，M，F在准线上的投影分别为A₁，B₁，N，H，要证|CA|•|CB|=|CM|•|CF|，只需证|CA₁|•|CB₁|=|CN|•|CH|，设直线AB的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，由此入手能证明|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．

解答 解：（Ⅰ）依题意，点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等，
∴点P的轨迹E是以F为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴E的方程为y²=4x．…（5分）
证明：（Ⅱ）根据对称性只考虑AB的斜率为正的情形，
设点A，B，M，F在准线上的投影分别为A₁，B₁，N，H，
要证|CA|•|CB|=|CM|•|CF|，就是要证$\frac{{|{CA}|}}{{|{CM}|}}=\frac{{|{CF}|}}{{|{CB}|}}$，
只需证$\frac{{|{C{A_1}}|}}{{|{CN}|}}=\frac{{|{CH}|}}{{|{C{B_1}}|}}$，即证|CA₁|•|CB₁|=|CN|•|CH|…①
设直线AB的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m…②，y₁y₂=-4…③，
在x=my+1中，令x=-1，得$y=\frac{-2}{m}$，即$C（{-1，\frac{-2}{m}}）$
因此，要证①式成立，只需证：$（{{y_1}-{y_c}}）•（{{y_2}-{y_c}}）=（{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-{y_c}}）•（{-{y_c}}）$
只需证：${y_1}{y_2}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}{y_c}=0$…④，
由②③两式，可知${y_1}{y_2}--\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}{y_c}=-4-2m（{-\frac{2}{m}}）=0$，
∴④式成立，∴原命题获证．
∴|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质和等价转化思想的合理运用．