Question

20．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x²+y²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．若抛物线y²=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形
（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点
（i）证明：∠AOB为定值；
（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线y²=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．
∴“相关圆”E的方程为x²+y²=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB方程为x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$∠AOB=\frac{π}{2}$；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x²+2（kx+m）²=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出$∠AOB=\frac{π}{2}$为定值．
（ii）要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ面积的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线y²=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，
且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，
∴b=c=1，∴a²=1+1=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
∴“相关圆”E的方程为x²+y²=$\frac{2}{3}$．
证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），∴$∠AOB=\frac{π}{2}$，
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2（kx+m）²=2，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0，
即2k²-m²+1＞0，（*）
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵直线与圆相切，
∴$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，∴3m²=2+2k²，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}$+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{（1+{k}^{2}）（2{m}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}+{m}^{2}$
=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$∠AOB=\frac{π}{2}$为定值．
解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，
∴${S}_{△ABQ}=\frac{1}{2}|AB||PQ|=\frac{\sqrt{6}}{3}|AB|$，
∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，
当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）•\frac{8（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{8}{3}•\frac{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}[1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}]}$，
①当k≠0时，|AB|=$\sqrt{\frac{8}{3}（1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}）}$，
∵$4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4≥8$，∴0＜$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}$$≤\frac{1}{8}$，
∴$\frac{8}{3}＜\frac{8}{3}（1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+1}）$≤3，
∴$\frac{2}{3}\sqrt{6}$＜|AB|$≤\sqrt{3}$，
当且仅当k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取“=”号．
②当k=0时，|AB|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．|AB|的取值范围为$\frac{2}{3}\sqrt{6}$≤|AB|$≤\sqrt{3}$，
∴△ABQ面积的取值范围是[$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查相关圆的方程的求法，考查角为定值的与求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、椭圆弦长公式的合理运用．