Question

6．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F是线段B₁D₁上的两个动点，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则下列结论中错误的是（　　）

• A． AC⊥BF
• B． 三棱锥A-BEF的体积为定值
• C． EF∥平面ABCD
• D． 面直线AE、BF所成的角为定值

Answer 1

分析 在A中，由AC⊥BD，AC⊥BB₁，得AC⊥平面BDD₁B₁，从而AC⊥BF；在B中，A到平面BEF的距离不变，△BEF的面积不变，从而三棱锥A-BEF的体积为定值；在C中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值．

解答 解：在A中，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F是线段B₁D₁上的两个动点，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵BF?平面BDD₁B₁，∴AC⊥BF，故A正确；
在B中，∵AC⊥平面BDD₁B₁，∴A到平面BEF的距离不变，
∵EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，
∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故B正确；
在C中，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；
在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，
则此时两异面直线所成的角是∠A₁AO，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC₁，
此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．故D错误．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．