Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC．
（2）求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面EAC．
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=$\frac{π}{4}$，
∵AC=AD，AC⊥AD，
∴CD=2，∠ACD=$\frac{π}{4}$
∴∠BAC=∠ACD，则AB∥CD，
连接BD，交AC于M，连EM，则$\frac{DM}{MB}=\frac{CD}{AB}=2$，
又PE=2EB，在△BPD中，$\frac{PE}{EB}=\frac{DM}{MB}=2$，
∴PD∥EM，
∵PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC
（2）建立如图所示的空间坐标系如图：
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，
则$\overrightarrow{AE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$y+$\frac{1}{3}$z=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=-2y}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=-1，z=-2，则$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-2），
同理平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．