Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow a$|=1，$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$=$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向的投影为$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow b•（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）$=34．

Answer 1

分析 根据投影的定义和向量模的计算，求出|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，即可求出答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow a$|=1，$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$=$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向的投影为$\frac{1}{2}$，
∴$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$²=4|$\overrightarrow a$|²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=12，$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，
∴$\overrightarrow b•（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2|$\overrightarrow{b}$|²=2+2×16=34，
故答案为：34．

点评 本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．