Question

20．在△ABC中，sinA=-cosBcosC，且tanBtanC=1-$\sqrt{3}$，求角A．

Answer 1

分析 利用正切化为正弦、余弦，通分，利用两角和的正弦函数结合三角形的内角和的关系，求出tanB+tanC的值．从而利用两角和的正切函数公式，诱导公式，可求tanA的值，结合A的范围，即可求值得解．

解答 解：在△ABC中，∵sinA=-cosBcosC，且tanBtanC=1-$\sqrt{3}$，
∴tanB+tanC=$\frac{sinB}{cosB}+\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinBcosC+cosBsinC}{cosBcosC}$=$\frac{sin（B+C）}{cosBcosC}$=$\frac{sinA}{cosBcosC}$=$\frac{-cosBcosC}{cosBcosC}$=-1，
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{-1}{1-（1-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数，正切函数公式的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．