Question

9．设tanα=1，3sinβ=sin（2α+β），求tan（2α+2β）．

Answer 1

分析 将已知等式两边中的角度变形后，分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入即可求出tan（α+β）的值，即可求出tan（2α+2β）的值．

解答 解：将sin（2α+β）=3sinβ，变形得：sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]，
即sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
整理得：sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，①，
∵tanα=1，
∴根据①得：tan（α+β）=2tanα=2，
∴tan（2α+2β）=$\frac{2tan（α+β）}{1-ta{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{2×2}{1-4}$=-$\frac{4}{3}$

点评 此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．