Question

17．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁=2且a₁，a₃，2a₂+6成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足4${\;}^{{b}_{1}-1}$4${\;}^{{b}_{2}-1}$…4${\;}^{{b}_{n}-1}$=（a_n）${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N），证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$$＜\frac{n}{2}$（n∈N）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列通项公式和等差数列性质求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知得${4}^{（{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}）-n}$=${2}^{n{b}_{n}}$，从而2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，由此推导出b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），进而能证明{b_n}是等差数列．
（Ⅲ）由$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-1}$=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k+1}-1}$=$\frac{{2}^{k}-1}{2（{2}^{k}-\frac{1}{2}）}$$＜\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-1}$=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k+1}-1}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（{2}^{k+1}-1）}$≥$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}•\frac{1}{{2}^{k}}$，能证明$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$$＜\frac{n}{2}$（n∈N）．

解答 解：（Ⅰ）∵各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁=2且a₁，a₃，2a₂+6成等差数列，
∴2（2q²）=2+2（2q）+6，且q＞0，
∴解得q=2或q=-1（舍），
∴a_n=2ⁿ．
证明：（Ⅱ）∵数列{b_n}满足4${\;}^{{b}_{1}-1}$4${\;}^{{b}_{2}-1}$…4${\;}^{{b}_{n}-1}$=（a_n）${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N），
∴${4}^{（{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}）-n}$=${2}^{n{b}_{n}}$，
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差数列．
（Ⅲ）∵$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-1}$=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k+1}-1}$=$\frac{{2}^{k}-1}{2（{2}^{k}-\frac{1}{2}）}$$＜\frac{1}{2}$，k=1，2，3，…，n，
∴$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$$＜\frac{n}{2}$（n∈N），
∵$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-1}$=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k+1}-1}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（{2}^{k+1}-1）}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3•{2}^{k}+{2}^{k}-2}$≥$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}•\frac{1}{{2}^{k}}$，k=1，2，3，…，n，
∴$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$＞$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}$，
∴$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$$＜\frac{n}{2}$（n∈N）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．