Question

7．已知点O为坐标原点，点A_n（n，α_n）（n∈N^*）为函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$的图象上的任意一点，向量$\overrightarrow{i}$=（0，1）．θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$与$\overrightarrow{i}$的夹角，则数列|$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$|的前2015项的和为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． 1

Answer 1

分析 通过将点A_n（n，α_n）（n∈N^*）代入f（x）=$\frac{1}{x+1}$化简可知A_n（n，$\frac{1}{n+1}$）（n∈N^*），进而利用向量可求|cosθ_n|=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，通过平方关系可知|sinθ_n|=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，进而裂项可知|$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$|=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵点A_n（n，α_n）（n∈N^*）为函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$的图象上的任意一点，
∴α_n=$\frac{1}{n+1}$，即A_n（n，$\frac{1}{n+1}$）（n∈N^*），
又∵向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），
∴|cosθ_n|=|$\frac{\overrightarrow{i}•\overrightarrow{O{A}_{n}}}{|\overrightarrow{i}|•|\overrightarrow{O{A}_{n}}|}$|=|$\frac{0+\frac{1}{n+1}}{1•\sqrt{{n}^{2}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}}$|=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，
由平方关系可知，|sinθ_n|=$\sqrt{1-co{s}^{2}{θ}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，
∴|$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$|=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的求和，涉及利用向量求夹角的余弦值、平方关系，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．