Question

19．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），且原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B．且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形，可得b=c．由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1，与a²=b²+c²联立即可得出．
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B．且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．设圆的方程为：x²+y²=r²，（0＜r＜2）．设圆的切线为y=kx+m，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．化简整理即可得出．

解答 解：（1）∵原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形，∴b=c，
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b=c=2，a²=8．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B．且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．
设圆的方程为：x²+y²=r²，（0＜r＜2）．
设圆的切线为y=kx+m，则$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△≥0，可得：9k²+4≥m²．
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
∴（1+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²=0，
化为：3m²=8+8k²，与$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r联立，
可得r²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{8（1+{k}^{2}）}{3（1+{k}^{2}）}$=$\frac{8}{3}$＜4，
因此假设成立，存在圆心在原点的圆，方程为x²+y²=$\frac{8}{3}$，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、点到直线的距离公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．