Question

4．设函数f（x）=mx+x²+lnx，若f（x）在其定义域内为增函数，则实数m的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 令f′（x）≥0，分离参数得m≥-x-$\frac{1}{x}$，使用基本不等式得出-x-$\frac{1}{x}$的范围，继而得到m的范围．

解答 解：f（x）的定义域为{x|x＞0}，
∵f（x）在其定义域内为增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴m+2x+$\frac{1}{x}$≥0，即m≥-2x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立．
∵2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$，∴-2x-$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{2}$，当且仅当2x=$\frac{1}{x}$即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴m≥-2$\sqrt{2}$．
故答案为[-2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系，函数恒成立问题的解决办法，属于中档题．