Question

16．已知函数f（x）=x³+3ax²-bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-12x+1
（1）试确定a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）得f′（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+3ax²-bx，可得f′（x）=3x²+6ax-b，f′（1）=3+6a-b=-12．①
又x=1，y=-11在f（x）的图象上，
∴1+3a-b=-11．②
由①②得a=-1，b=9，
（2）f（x）=x³-x²-9x．
f′（x）=3x²-6x-9，令f′（x）＜0，得：3x²-6x-9＜0，
可得-1＜x＜3，
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，3），单调增区间为：（-∞，-1），（3，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．