Question

6．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A′₁、AA′₁于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A′₁、AA′₁于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．则在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，直线AP与直线A₁Q所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 推导出AB，BC，BB₁两两互相垂直．以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出直线AP与A₁Q所成角的余弦值．

解答 解：在正方形AA'A'₁A₁中，∵A'C=AA'-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
∵AB=3，BC=4，
∴AB²+BC²=AC²，则AB⊥BC．
∵四边形AA'A'₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，
∴AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面BCC₁B₁，AB为四棱锥A-BCQP的高．
∵四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
∵B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，且AB∩BC=B，∴B₁B⊥平面ABC．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，
∴AB，BC，BB₁两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（3，0，0），A₁（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（-3，4，-5），∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{{A}_{1}Q}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{A}_{1}Q}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{{A}_{1}Q}|}$=$\frac{1}{5}$，
∵异面直线所成角的范围为（0，$\frac{π}{2}$]，
∴直线AP与A₁Q所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．