Question

1．已知函数f（x）=-mcos（ωx+φ）（m＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，点A，B，C为f（x）的图象与坐标轴的交点，且A（1，0），D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{10}{3}$），$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$，则m=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用平面向量的坐标表示与运算，求出|AB|的值，从而求出函数f（x）的周期T与ω的值，再求出φ与m的值即可．

解答 解：设点B（x，0），C（0，y），又点D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{10}{3}$），
∴$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{5}{3}$，-$\frac{10}{3}$-y），$\overrightarrow{DB}$=（x-$\frac{5}{3}$，$\frac{10}{3}$）；
又$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}=\frac{1}{2}（x-\frac{5}{3}）}\\{-\frac{10}{3}-y=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
即点B（5，0），C（0，-5），所以|AB|=4；
所以T=$\frac{2π}{ω}$=2|AB|=8，
解得ω=$\frac{π}{4}$，
所以f（x）=-mcos（$\frac{π}{4}$x+φ）；
把点A（1，0）代入f（x）可得，cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
所以$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{4}$，
所以-mcos$\frac{π}{4}$=-5，解得m=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是综合性题目．