Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA，sinA的值；
（2）若cosB+cosC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求cosC+$\sqrt{2}$sinC的值．

Answer 1

分析 （1）通过正弦定理化简已知条件，利用两角和的正弦函数与二倍角公式，结合谁教你的内角和即可求A；
（2）由三角形内角和定理化简已知可得：cosB+$\sqrt{2}$sinB=$\sqrt{3}$，解得tanB，cosB，sinB的值，利用两角和的余弦函数公式可求cosC，进而可求sinC的值，即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3acosA=bcosC+ccosB，
由正弦定理可知：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
可得3sinAcosA=sin（B+C）=sinA，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$…（6分）
（2）∵cosB+cosC=cosB-cos（A+B）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cosB-cosAcosB+sinAsinB=cosB-$\frac{1}{3}$cosB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得：cosB+$\sqrt{2}$sinB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{（cosB+\sqrt{2}sinB）^{2}}{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B}$=3，化简可得：tan²B-2$\sqrt{2}$tanB+2=0，解得：tanB=$\sqrt{2}$，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosC+$\sqrt{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{3}$…（12分）

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了两角和的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．