Question

18．已知函数$f（x）={cos^2}x+{cos^2}（x-\frac{π}{6}）$，x∈R
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）+1$
（1）由周期公式可得；
（2）由x的范围和三角函数的最值可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos²x+cos²（x-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{1+cos（2x-\frac{π}{3}）}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{3}{4}cos2x+1$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）+1$
（1）函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵函数f（x）在$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}]$单调递增，在$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$单调递减，
∵$f（-\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}，f（\frac{π}{12}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1，f（\frac{π}{4}）=1+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$f{（x）_{min}}=\frac{1}{4}，f{（x）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数周期性和最值，属中档题．