Question

3．函数y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$（x≥0）的最小值为$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 化简y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$=1-$\frac{x}{4{x}^{2}+5x+1}$，分类讨论以确定函数值的取值，从而借助不等式求最值．

解答 解：y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$=$\frac{4{x}^{2}+4x+1}{4{x}^{2}+5x+1}$=1-$\frac{x}{4{x}^{2}+5x+1}$，
①当x=0时，y=1；
②当x＞0时，y=1-$\frac{x}{4{x}^{2}+5x+1}$
=1-$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}+5}$，
∵4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，
（当且令当x=$\frac{1}{2}$时，等号成立）；
故0＜$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}+5}$≤$\frac{1}{4+5}$=$\frac{1}{9}$，
故$\frac{8}{9}$≤1-$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}+5}$＜1，
综上所述，函数y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$（x≥0）的最小值为$\frac{8}{9}$，
故答案为：$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了函数的化简与应用及基本不等式在求最值中的应用．