Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n-1是a_n与S_n的等比中项，则a₂₀₁₅+$\frac{1}{2016}$的值为$\frac{1}{2015}$．

Answer 1

分析 分别令n=1，2，3…，计算a_n+$\frac{1}{n+1}$，归纳其规律得出结论．

解答 解：∵S_n-1是a_n与S_n的等比中项，
∴（S_n-1）²=a_n•S_n，
当n=1时，（a₁-1）²=a₁²，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
∴a₁+$\frac{1}{2}$=1，
当n=2时，（a₁+a₂-1）²=a₂（a₁+a₂），即（a₂-$\frac{1}{2}$）²=a₂²+$\frac{1}{2}$a₂，
解得a₂=$\frac{1}{6}$．
∴a₂+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
当n=3时，（a₃-$\frac{1}{3}$）²=a₃（a₃+$\frac{2}{3}$），解得a₃=$\frac{1}{12}$．
∴a₃+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$，
…
∴a₂₀₁₅+$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{2015}$．
故答案为$\frac{1}{2015}$．

点评 本题考查了归纳推理，根据递推公式计算前几项发现其规律是解题关键．