Question

8．如图，在多面体ABCDE中，BD⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE=BD=2．
（1）若是F线段DC的中点，证明：EF⊥面DBC；
（2）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面直线的判定定理以及直线平行的性质即可证明EF⊥面DBC；
（2）利用转化法结合四棱锥的体积公式即可求多面体ABCDE的体积．

解答 证明：（1）∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴取BC的中点H，连接FH，AH，
若是F线段DC的中点，
则FH是△BCD的中位线，
∴FH∥BD，FH=$\frac{1}{2}$BD=1，
∵AE∥DB，∴AE∥FH，
∵2AE=2，∴AE=1，
则AE=FH=1，
则四边形AEFH是平行四边形，
则EF∥AH，
∵BD⊥平面ABC，∴FH⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵在正三角形ABC中，AH⊥BC，
∴AH⊥面DBC，
∵EF∥AH，
∴EF⊥面DBC；
（2）取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，
∵BD⊥平面ABC，BD?平面ABDE，
∴平面ABC⊥平面ABDE，
则CO⊥平面ABDE，
则CO是C到平面ABDE的距离，则CO=$\sqrt{3}$，
则梯形ABDE的面积S=$\frac{AE+BE}{2}×AB$=$\frac{1+2}{2}×2=3$，
则多面体ABCDE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{ABDE}•CO$=$\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及多面体的体积的计算，根据线面垂直的判定定理以及转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力．