Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x²+y²=$\frac{b^2}{4}$截得的线段的长为c，|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，设直线FM的方程为y=k（x+c），由此利用已知条件能求出直线FM的斜率．
（Ⅱ）椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，直线FM的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），联立，消去y，得3x²+2cx-5c²=0，由此利用弦长公式能求出椭圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）由离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，又由a²=b²+c²，得a²=3c²，b²=2c²，
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），
由已知有（$\frac{kc}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{c}{2}$）²=（$\frac{b}{2}$）²，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线FM的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，
直线FM的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
两个方程联立，消去y，得3x²+2cx-5c²=0，
解得x=-$\frac{5}{3}c$或x=c，
∵点M在第一象限，∴M（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}c$），
由|FM|=$\sqrt{（c+c）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}c-0）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得c=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程、椭圆性质、弦长公式的合理运用．