Question

14．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁=16，某同学经过计算得到S₂=32，S₃=76，S₄=130，检验后发现其中恰好一个数算错了，则算错的这个数是S₂，该数列的公比是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得：a₁=16，a₁+a₂=a₁（1+q）=32，a₁+a₂+a₃=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=76，a₁+a₂+a₃+a₄=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）$=130，不妨假设第一个与第二个等式成立，解得a₁=16，q=1，经过验证第四个与第三个等式都不成立，因此第一个与第二个等式必定有一个不成立．假设第一个与第三个等式成立，解得a₁，q．验证即可得出．

解答 解：由已知可得：a₁=16，a₁+a₂=a₁（1+q）=32，a₁+a₂+a₃=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=76，a₁+a₂+a₃+a₄=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）$=130，
不妨假设第一个与第二个等式成立，解得a₁=16，q=1，经过验证第四个与第三个等式都不成立，因此第一个与第二个等式必定有一个不成立．
假设第一个与第三个等式成立，解得a₁=16，q=$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{2}$．经过验证q=$\frac{3}{2}$时，第四个等式成立，因此可得：算错的这个数是S₂，该数列的公比是 $\frac{3}{2}$．
故答案分别为：32（S₂），$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．