Question

10．在数列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=（2+\frac{2}{n}）{a_n}+n+1$．
（Ⅰ）设${b_n}=\frac{a_n}{n}$（n∈N^*），求证：数列{b_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${a_{n+1}}=（2+\frac{2}{n}）{a_n}+n+1$，把等式右边整理后可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2•\frac{{a}_{n}}{n}+1$，即$\frac{{b}_{n+1}+1}{{b}_{n}+1}=2$，由此说明{b_n+1}是以b₁+1=2为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{b_n+1}的通项公式，进一步求得数列{a_n}的通项公式，分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求和得答案．

解答 （Ⅰ）证明：由${a_{n+1}}=（2+\frac{2}{n}）{a_n}+n+1$，
得${a_{n+1}}=2•\frac{n+1}{n}{a_n}+（n+1）$，即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2•\frac{{a}_{n}}{n}+1$，
则b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），即$\frac{{b}_{n+1}+1}{{b}_{n}+1}=2$，
故{b_n+1}是以b₁+1=2为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，${b_n}+1={2^n}$，则${b}_{n}={2}^{n}-1$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}={2}^{n}-1$，即${a}_{n}=n•{2}^{n}-n$，
∴${S_n}=（1×{2^1}-1）+（2×{2^2}-2）+（3×{2^3}-3）+…+（n×{2^n}-n）$
=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+n）=${A_n}-\frac{n（n+1）}{2}$，
其中${A_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$…①
则$2{A_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$…②
①-②得$-{A_n}={2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$
=$\frac{{2（{2^n}-1）}}{2-1}-n×{2^{n+1}}={2^{n+1}}-2-n×{2^{n+1}}$，
∴${A_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．
∴${S_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2-\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．