Question

18．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-2x-1，从而求导可判断导数F′（x）=f′（x）-2＜0恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，从而得到不等式f（x）＜2x+1的解集．

解答 解：令F（x）=f（x）-2x-1，
则F′（x）=f′（x）-2，
又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，
∴F′（x）=f′（x）-2＜0恒成立，
∴F（x）=f（x）-2x-1是R上的减函数，
又∵F（1）=f（1）-2-1=0，
∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）-2x-1＜0，
即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；
故选A．

点评 本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．