Question

13．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≥0\\ 3x+y-3≥0\end{array}\right.$，若$\overrightarrow a=（y，x+m）$，$\overrightarrow b=（y，x-m）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则正实数m的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{85}}}{5}$
• B． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{16}{5}$

Answer 1

分析 通过向量垂直数量积为0，推出m的方程，然后画出可行域，求解正实数m的最小值．

解答 解：$\overrightarrow a=（y，x+m）$，$\overrightarrow b=（y，x-m）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
可得m²=y²+x²，正实数m=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≥0\\ 3x+y-3≥0\end{array}\right.$，可行域如图：
正实数m=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的几何意义是可行域内的点到直线x+2y-4=0的距离的最小值，
由点到直线的距离距离公式可知：d=$\frac{4}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查线性规划的简单应用，向量的数量积，以及表达式的几何意义，考查分析问题解决问题的能力．