Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}=（sinα，cos2α）$，$\overrightarrow{b}=（1-2sinα，-1）$，$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{8}{5}$，则tan（$α-\frac{π}{4}$）的值为（　　）

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． -$\frac{2}{7}$
• D． -$\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 先进行数量积的坐标运算，并且用上二倍角的余弦公式，从而可求得sin$α=-\frac{3}{5}$，而根据$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$即可求得cos$α=-\frac{4}{5}$，然后根据两角差的正切公式和切化弦公式即可求出tan（$α-\frac{π}{4}$）．

解答 解：由已知条件：
sinα•（1-2sinα）-cos2α=sinα-1=$-\frac{8}{5}$；
∴$sinα=-\frac{3}{5}$，$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$；
∴$cosα=-\frac{4}{5}$；
∴$tan（α-\frac{π}{4}）=\frac{tanα-1}{1+tanα}=\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{\frac{1}{5}}{-\frac{7}{5}}=-\frac{1}{7}$．
故选D．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，正弦函数在各象限的符号情况，以及两角差的正切公式，切化弦公式．