Question

5．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-2x）+2sinxsin（$\frac{π}{2}$-x），在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$．
（1）求cos（A+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），由f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$．又0＜A＜π，即可解得A=$\frac{π}{3}$，从而可求cos（A+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）由题意可求得内角C，由正弦定理可求得b，c，由题意可得y=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，根据正弦函数的单调性即可求得y=g（x）的最大值．

解答 解：（1）f（x）=cos（$\frac{π}{6}$-2x）+2sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x+sin2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∵f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，可解得：A+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z．
又∵0＜A＜π，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{2}$=0．
（2）∵内角B为x，
∴内角C为：$\frac{2π}{3}$-x，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinx}{sinA}$=2sinx，c=$\frac{asin（\frac{2π}{3}-x）}{sinA}$=2sin（$\frac{2π}{3}$-x），
∴由题意可得：y=$\sqrt{3}$+2sinx+2sin（$\frac{2π}{3}$-x）=$\sqrt{3}$cosx+3sinx+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∴y_max=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理，正弦函数的单调性的应用，属于基本知识的考查．