Question

对于函数f(x)=

ax+1

x-1

（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：
①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；
②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；
③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；
④当a=-1时，f（x）为偶函数；
⑤当a=2时，对于满足条件2＜x₁＜x₂的所有x₁，x₂总有f（x₁）-f（x₂）＜3（x₂-x₁）．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：①由a=1，将函数用分离常数法转化，f（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，其图象是由y=

2

x

向右，向上平移一个单位得到的，再利用反比例函数的单调性得到结论．
②用分离常数法转化，f(x)=

ax+1

x-1

=a+

1+a

x-1

，易得其图象关于（1，a）对称．
③若为是奇函数，则图象关于原点对称，由②易知不正确．
④由a=-1，用分离常数法转化，f（x）=

-x+1

x-1

=-1(x≠1)，再用偶函数定义判断．
⑤由a=2，用分离常数法转化，f（x）=

2x+1

x-1

=2+

3

x-1

，易知在（1，+∞）上是减函数，再研究即得．

解答：解：①当a=1时，f（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，是由y=

2

x

向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数，不正确．
②f(x)=

ax+1

x-1

=a+

1+a

x-1

，其图象关于（1，a）对称，正确．
③由②知对称点的横坐标是1，不可能是0，所以不可能是奇函数，正确．
④当a=-1时，f（x）=

-x+1

x-1

=-1(x≠1)，定义域不关于原点对称，所以不可能为偶函数，不正确．
⑤当a=2时，f（x）=

2x+1

x-1

=2+

3

x-1

，在（1，+∞）上是减函数，则在（2，+∞）上也是减函数
∴对于满足条件2＜x₁＜x₂的所有x₁，x₂总有f（x₁）-f（x₂）＜3（x₂-x₁）．
故答案为：②③⑤

点评：本题主要考查形如：y=

cx+d

ax+b

的图象和性质，研究的方法是用分离常数法转化的为反比例型函数解决．