Question

在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.

Answer 1

（Ⅰ）以为原点建立空间直角坐标系则
，，所以，， 又由平面，可得，所以平面.（Ⅱ）

解析试题分析：解法一：
（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分 
所以,  .……2分
如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则 3分
，，
所以，， 4分
又由平面，可得，所以平面. 6分
（Ⅱ）平面的法向量为， 7分
，，
所以，  8分
设平面的法向量为，，，
由，，得
所以，，  9分
所以，  10分
所以，  11分
注意到，得.  12分   
法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD   ①…. .…..……2分
取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=  4分
∵, ∴BC⊥BD  ②5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD.        6分
（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG
∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ="45°" 8分
设PQ=x，易知
∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴ 10分
在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即  ∴… 11分
∵   ∴     ∴… 12分
考点：线面垂直及二面角
点评：本题中结合已知条件可知利用空间向量法求解较简单，要证明线面垂直只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行，二面角大小为只需满足两半平面的法向量夹角为