Question

已知数列{a_n}满足

1

3

a_n≤a_n+1≤3a_n，n∈N^*，a₁=1．
（1）若a₂=2，a₃=x，a₄=9，求x的取值范围；
（2）设{a_n}是公比为q的等比数列，S_n=a₁+a₂+…a_n，若

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，n∈N^*，求q的取值范围．
（3）若a₁，a₂，…a_k成等差数列，且a₁+a₂+…a_k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a₁，a₂，…a_k的公差．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意：

1

3

a2≤a3≤3a2，又

1

3

a3≤a4≤3a3将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：an=qn-1，由

1

3

a1≤a2≤3a1求出

1

3

≤q≤3，对q分类讨论求出S_n分别代入不等式

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a₁，a₂，…a_k的公差．

解答： 解：（1）依题意：

1

3

a2≤a3≤3a2，
∴

2

3

≤x≤6；又

1

3

a3≤a4≤3a3
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，an=qn-1，

1

3

a1≤a2≤3a1，
∴

1

3

≤q≤3，
当q=1时，S_n=n，

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，即

n

3

≤n+1≤3n，成立．
当1＜q≤3时，Sn=

qn-1

q-1

，

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，即

1

3

qn-1

q-1

≤

qn+1-1

q-1

≤3

qn-1

q-1

，
∴

1

3

≤

qn+1-1

qn-1

≤3
不等式

3qn+1-qn-2≥0 qn+1-3qn+2≤0

∵q＞1，故3qⁿ⁺¹-qⁿ-2=qⁿ（3q-1）-2＞2qⁿ-2＞0对于不等式qⁿ⁺¹-3qⁿ+2≤0，令n=1，
得q²-3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，
∴qⁿ⁺¹-3qⁿ+2=qⁿ（q-3）+2≤q（q-3）+2=（q-1）（q-2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当

1

3

≤q＜1时，
Sn=

qn-1

q-1

，

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，即

1

3

1-qn

1-q

≤

1-qn+1

1-q

≤3

1-qn

1-q

，
∴此不等式即

3qn+1-qn-2≤0 qn+1-3qn+2≥0

，
3q-1＞0，q-3＜0，
3qⁿ⁺¹-qⁿ-2=qⁿ（3q-1）-2＜2qⁿ-2＜0，
qⁿ⁺¹-3qⁿ+2=qⁿ（q-3）+2≥q（q-3）+2=（q-1）（q-2）＞0
∴

1

3

≤q＜1时，不等式恒成立，
上，q的取值范围为：

1

3

≤q≤2．
（3）设a₁，a₂，…a_k的公差为d．由

1

3

an≤an+1≤3an，且a₁=1，
得

1

3

[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1
即

(2n+1)d≥-2 (2n-3)d≥-2

 n=1，2，…，k-1
当n=1时，-

2

3

≤d≤2；
当n=2，3，…，k-1时，由

-2

2n+1

＞

-2

2n-3

，得d≥

-2

2n+1

，
所以d≥

-2

2k-1

≥-

2

3

，
所以1000=ka1+

k(k-1)

2

d≥k+

k(k-1)

2

•

-2

2k-1

，即k²-2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a₁，a₂，…a_k的公差为-

1

1999

．

点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．