Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD₁、BB₁、A₁B₁、A₁D₁的中点，求证：
（Ⅰ）直线BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直线AC₁⊥平面PQMN．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）要证直线BC₁∥平面EFPQ，只需证BC₁∥FP，且BC₁?平面EFPQ即可，由AD₁∥BC₁，FP∥AD₁即可证出；
（Ⅱ）要证直线AC₁⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC₁，且PN⊥AC₁即可．

解答： 证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接AD₁，
∵AD₁∥BC₁，且F、P分别是AD、DD₁的中点，
∴FP∥AD₁，∴BC₁∥FP，
又FP?平面EFPQ，且BC₁?平面EFPQ，
∴直线BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）如图，
连接AC、BD，则AC⊥BD，∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD；
又AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁，
又AC₁?平面ACC₁，∴BD⊥AC₁；
又∵M、N分别是A₁B₁、A₁D₁的中点，
∴MN∥BD，∴MN⊥AC₁；
同理可证PN⊥AC₁，
又PN∩MN=N，∴直线AC₁⊥平面PQMN．

点评：本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．