Question

16．已知M是△ABC内的一点，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为$\frac{1}{2}$，x，y，则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值是（　　）

• A． 9
• B． 16
• C． 18
• D． 20

Answer 1

分析 利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，利用基本不等式求得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值．

解答 解：由已知得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccos∠BAC=bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴bc=4，
故S_△ABC=x+y+$\frac{1}{2}$bcsinA=1，
∴x+y=$\frac{1}{2}$，
而$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=2（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）×（x+y）=2（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥2（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=18，当且仅当x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{1}{3}$时取等号．
故选：C．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．