Question

15．设P为△ABC所在平面内一点，且$5\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，则△PAB的面积与△ABC的面积之比等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． 不确定

Answer 1

分析 根据题意，作出平行四边形ACED，B为AD中点，G、F满足$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$．根据向量的加法法则，得到$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$且$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF}$，根据平行线的性质和三角形面积公式，分别得到△PAB的面积等于平行四边形ACED的$\frac{1}{20}$，且△ABC的面积等于平行四边形ACED的$\frac{1}{4}$，由此即可得到它们的面积之比．

解答 解：∵$5\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$
∴移项化简，可得$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$
因此，设向量$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，
可得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF}$
点P在以AG、AF为邻边的平行四边形的第四个顶点处，如图所示
平行四边形ACED中，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
B为AD中点，得$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$，
∴△PAB的面积S₁=$\frac{1}{10}$S_△ADE=$\frac{1}{20}$S_{平行四边形ACED}
又∵△ABC的面积S₂=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ACED}
∴S₁：S₂=$\frac{1}{20}$：$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，即△PAB的面积与△ABC的面积的比值为$\frac{1}{5}$
故选：C

点评 本题给出三角形中的向量关系式，求两个三角形的面积之比．着重考查了向量的加法法则、平行四边形的性质和三角形面积公式等知识，属于中档题．