Question

3．若a＞0，设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{\frac{x}{3a}+\frac{y}{4a}≤1}\end{array}\right.$，如果z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值为$\frac{3}{2}$，则正数a的值为1．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$中的$\frac{y+1}{x+1}$表示过点（x，y）与（-1．-1）连线的斜率，只需求出可行域内的点与（-1，-1）连线的斜率即可．

解答 解：∵z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，
而$\frac{y+1}{x+1}$表示过点（x，y）与（-1．-1）连线的斜率，
易知a＞0，所以可作出可行域，
z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值为$\frac{3}{2}$，
知$\frac{y+1}{x+1}$的最小值是$\frac{1}{4}$，
即（$\frac{y+1}{x+1}$）min=$\frac{0+1}{3a+1}$=$\frac{1}{3a+1}$=$\frac{1}{4}$⇒a=1．
故答案为：1；

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．涉及到线性规划的题目，每年必考；就此题而言，式子z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的处理应当成为解决本题的关键，一般来说，高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形，这样其几何意义就表现来了．是中档题．