Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=7，c=3，cosC=$\frac{13}{14}$．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平方关系和内角的范围求出sinC，由正弦定理求出sinA的值；
（Ⅱ）由余弦定理求出边b的值，再把数据代入三角形面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，cosC=$\frac{13}{14}$、0＜C＜π，
所以sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
因为a=7，c=3，所以由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
则sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{7×\frac{3\sqrt{3}}{14}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则9=49+b²-2×7b×$\frac{13}{14}$，
即b²-13b+40=0，解得b=5或b=8，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$；
或S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×8×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理，平方关系，以及三角形面积公式，注意内角的范围，属于中档题．