Question

已知向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），函数f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），（m为正实数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移

π

6

个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．

Answer 1

（1）f(x)=m(

a

•

b

+

3

sin2x)=m(sin(x+

π

2

)cosx-sin 2x+

3

)sin2x]
=m(cos2x-sin 2x+

3

sin2x)
=2msin(2x+

π

6

)…（2分）
由m＞0知，函数f（x）的最小正周期T=π．（4分）
又2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，（k∈Z）..（5分）
所以函数的递减区间是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）（6分）
（2）横坐标扩大到原来的两倍，得2msin(x+

π

6

)，
向右平移

π

6

个单位，得2msin[(x-

π

6

)+

π

6

]，
所以：g（x）=2msinx．…（7分）
由  0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m  …（8分）
所以当0＜m＜

1

2

时，y=g（x）与y=1无交点
当m=

1

2

时，y=g（x）与y=1有唯一公共点
当m＞

1

2

时，y=g（x）与y=1有两个公共点   …（12分）