Question

20．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{ωx}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，ω＞0．
（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若$f（\frac{π}{3}）=1$，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．
（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=$sin（ωx+\frac{π}{3}）$．通过$f（\frac{π}{3}）=1$，求出$ω=6n+\frac{1}{2}$．然后求解T的最大值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当ω=1时，$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$=$sin（x+\frac{π}{3}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}{，^{\;}}k∈Z$．
解得$2kπ-\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{π}{6}{，^{\;}}k∈Z$．
所以f（x）的单调递增区间是$[2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}]，k∈Z$．…（7分）
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}\frac{ωx}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sinωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosωx$=$sin（ωx+\frac{π}{3}）$．
因为$f（\frac{π}{3}）=1$，所以$sin（\frac{πω}{3}+\frac{π}{3}）=1$．
则$\frac{πω}{3}+\frac{π}{3}=2nπ+\frac{π}{2}$，n∈Z．
解得$ω=6n+\frac{1}{2}$．
又因为函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}$，且ω＞0，
所以当ω=$\frac{1}{2}$时，T的最大值为4π． …（13分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．