Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，$A{A_1}=\sqrt{3}$．M，N分别为BC和CC₁的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若P为线段BB₁的中点，求证：A₁N∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC₁与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AM⊥BC，BB₁⊥底面ABC，BB₁⊥AM，从而AM⊥平面BB₁C₁C，由此能证明平面APM⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）取C₁B₁中点D，连结A₁D，DN，DM，B₁C，则四边形A₁AMD为平行四边形，从而A₁D∥AM，进而A₁D∥平面APM；进一步推导出DN∥B₁C，MP∥B₁C，则DN∥MP，从而DN∥平面APM，进而平面A₁DN∥平面APM，由此能证明A₁N∥平面APM．
（Ⅲ）假设BC₁与平面APM垂直，则BC₁⊥PM．设PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．推导出$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$，从而得到直线BC₁与平面APM不能垂直．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．
又因为BB₁∥AA₁，且AA₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥底面ABC．
因为AM?底面ABC，所以BB₁⊥AM，
又BB₁∩BC=B，
所以AM⊥平面BB₁C₁C．
又因为AM?平面APM，
所以平面APM⊥平面BB₁C₁C．  …（5分）
（Ⅱ）取C₁B₁中点D，连结A₁D，DN，DM，B₁C．
由于D，M分别为C₁B₁，CB的中点，所以DM∥A₁A，且DM=A₁A．
则四边形A₁AMD为平行四边形，所以A₁D∥AM．
又A₁D?平面APM，AM?平面APM，所以A₁D∥平面APM．
由于D，N分别为C₁B₁，C₁C的中点，所以DN∥B₁C．
又P，M分别为B₁B，CB的中点，所以MP∥B₁C．
则DN∥MP．又DN?平面APM，MP?平面APM，所以DN∥平面APM．
由于A₁D∩DN=D，所以平面A₁DN∥平面APM．
由于A₁N?平面A₁DN，所以A₁N∥平面APM．…10分
解：（Ⅲ）假设BC₁与平面APM垂直，
由PM?平面APM，则BC₁⊥PM．
设PB=x，$x∈[0，\sqrt{3}]$．当BC₁⊥PM时，∠BPM=∠B₁C₁B，
所以$\user2{Rt}△PBM$∽Rt△∠B₁C₁B，所以$\frac{PB}{MB}=\frac{{{C_1}{B_1}}}{{B{B_1}}}$．
由已知$MB=\sqrt{2}，{C_1}{B_1}=2\sqrt{2}，B{B_1}=\sqrt{3}$，
所以$\frac{x}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，得$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
由于$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}∉[0，\sqrt{3}]$，
因此直线BC₁与平面APM不能垂直． …（14分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．