Question

15．已知实数x，y满足：x²+2$\sqrt{3}$xy-y²=1，则x²+y²的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由2$\sqrt{3}$xy=y²+1-x²，两边平方，设x²+y²=m，则y²=m-x²，代入可得16x⁴-4（1+4m）x²+（1+m）²=0，再设x²=t，得到16t²-4（1+4m）t+（1+m）²=0，利用△≥0，解出即可．

解答 解：设x²+y²=m，则y²=m-x²，
∵x²+2$\sqrt{3}$xy-y²=1，
∴2$\sqrt{3}$xy=y²+1-x²，
∴12x²y²=（y²+1-x²）²，
∴12x²（m-x²）=（m+1-2x²）²，
∴16x⁴-4（1+4m）x²+（1+m）²=0，
设x²=t，
∴16t²-4（1+4m）t+（1+m）²=0
∴△=16（1+4m）²-4×16（m+1）²≥0，解得m≥$\frac{1}{2}$
∴x²+y²的最小值是$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于中档题