Question

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点 $（\frac{6}{5}，\frac{4}{5}）$，其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足 $\overrightarrow{OM}=cosα•\overrightarrow{OA}+sinα•\overrightarrow{OB}$$（α∈（0，\frac{π}{2}））$，其
中O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：△OAB的面积是一个常数．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），可得x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4，m²+4n²=4，由向量的坐标表示，求得m，n，再平方相加，可得x₁x₂+4y₁y₂=0，再由椭圆的参数方程，结合两角差的正弦和余弦公式，化简整理，即可得到常数1．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将点 $（\frac{6}{5}，\frac{4}{5}）$代入椭圆方程，可得$\frac{36}{25{a}^{2}}$+$\frac{16}{25{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），
可得x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4，m²+4n²=4，
由$\overrightarrow{OM}=cosα•\overrightarrow{OA}+sinα•\overrightarrow{OB}$$（α∈（0，\frac{π}{2}））$，
可得（m，n）=cosα•（x₁，y₁）+sinα•（x₂，y₂），
即有m=cosα•x₁+sinα•x₂，
n=cosα•y₁+sinα•y₂，
可得m²+4n²=cos²α（x₁²+4y₁²）+sin²α（x₂²+4y₂²）+2cosαsinα（x₁x₂+4y₁y₂）
=4cos²α+4sin²α+sin2α（x₁x₂+4y₁y₂），
即有sin2α（x₁x₂+4y₁y₂）=0，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得
x₁x₂+4y₁y₂=0，
又S_△ABO=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sin∠AOB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}-（|OA|•|OB|cos∠AOB）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|，
由x₁=2cosβ，y₁=sinβ，x₂=2cosγ，y₂=sinγ，
x₁x₂+4y₁y₂=0，即为4（cosβcosγ+sinβsinγ）=0，
即cos（β-γ）=0，
又S_△ABO=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$|2cosβsinγ-2cosγsinβ|=|sin（β-γ）|=1．
则△OAB的面积是一个常数1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积为常数，注意点在椭圆上满足椭圆方程，以及平方相加，同时结合椭圆的参数方程和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．