Question

4．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ均为正常数）的最小正周期为π，当x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（1）＜f（-1）＜f（0）
• B． f（0）＜f（1）＜f（-1）
• C． f（-1）＜f（0）＜f（1）
• D． f（1）＜f（0）＜f（-1）

Answer 1

分析 由题意和函数的周期性可得ω，再由最值可得φ值，由函数的图象和单调性以及诱导公式可得大小关系．

解答 解：∵函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ均为正常数）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，故f（x）=Acos（2x+φ），
又∵当x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）取得最小值，
∴2•$\frac{5π}{12}$+φ=kπ，解得φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
由题意当k=1时φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=Acos（2x+$\frac{π}{6}$），
故f（0）=Acos$\frac{π}{6}$，f（1）=Acos（2+$\frac{π}{6}$）
=Acos（-2-$\frac{π}{6}$），f（-1）=Acos（-2+$\frac{π}{6}$），
由-π＜-2-$\frac{π}{6}$＜-2+$\frac{π}{6}$＜0和函数y=cosx在（-π，0）
单调递增可得f（1）＜f（-1）＜f（0），
故选：A．

点评 本题考查余弦函数的图象和单调性，涉及诱导公式的应用和函数图象的对称性，属中档题．