Question

14．已知椭圆C：mx²+3my²=1（m＞0）的长轴长为2$\sqrt{6}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程和离心率；
（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|=|BP|，求四边形OPAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；
（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S_△OAP+S_△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）椭圆C：mx²+3my²=1，即为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{3m}}$=1，所以a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{3m}$，
a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{3m}$，可得2a=2$\frac{1}{\sqrt{m}}$=2$\sqrt{6}$，
m=$\frac{1}{6}$，可得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
由c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，
由题意，可得直线BD的斜率存在，P（x₀，y₀）（y₀≠0），
则D（$\frac{{x}_{0}+3}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），直线AP的斜率为k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
直线BD的斜率为-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
可得BD的方程为y-$\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-$\frac{{x}_{0}+3}{2}$），
令x=0可得y=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，即B（0，$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-9}{2{y}_{0}}$），
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=1，可得x₀²=6-3y₀²，
化简可得B（0，$\frac{-2{{y}_{0}}^{2}-3}{2{y}_{0}}$），
则四边形OPAB的面积为S=S_△OAP+S_△OMB=$\frac{1}{2}$×3|y₀|+$\frac{1}{2}$×3|$\frac{-2{{y}_{0}}^{2}-3}{2{y}_{0}}$|
=$\frac{3}{2}$（2|y₀|+$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$）≥$\frac{3}{2}$•2$\sqrt{2|{y}_{0}|•\frac{3}{2|{y}_{0}|}}$=3$\sqrt{3}$，
当且仅当2|y₀|=$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$，即y₀=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]时，等号成立．
所以四边形OPAB面积的最小值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和离心率的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查四边形面积的最值的求法，注意运用直线的斜率公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．