Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点$（-\frac{π}{12}，0）$到其相邻的一条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．若$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，则函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\sqrt{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可求函数的周期T，利用周期公式可求ω的值，由Asin[2×$（-\frac{π}{12}）$+φ]=0，结合范围0＜φ＜π，可得φ，由$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，可解得A的值，由x∈$[0，\frac{π}{2}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求解．

解答 解：∵由题意，函数的周期T=4×$\frac{π}{4}$=π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2．
∵点$（-\frac{π}{12}，0）$在函数图象上，可得：Asin[2×$（-\frac{π}{12}）$+φ]=0，解得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴由0＜φ＜π，可得：φ=$\frac{π}{6}$．
∵$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，可得：Asin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，
∴解得：A=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．