Question

5．已知曲线C的方程是mx²+ny²=1（m＞0mn＞0），且曲线C过A（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）两点，O为坐标原点
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将A，B的坐标代入椭圆方程，解方程可得m=4，n=1，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）将M，N的坐标代入椭圆方程，结合OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，运用两点的距离公式，求得点O到直线MN的距离为d，化简整理可得定值，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由题将A，B的坐标代入椭圆方程可得：
$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{8}m+\frac{1}{2}n=1\\ \frac{1}{6}m+\frac{1}{3}n=1\end{array}\right.$解得m=4，n=1．
所以曲线C方程为y²+4x²=1；
（Ⅱ）证明：由M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲线C上两点，OM⊥ON，
可得：$y_1^2+4x_1^2=1$，$y_2^2+4x_2^2=1$，x₁x₂+y₁y₂=0，
原点O到直线MN的距离d=$\frac{|OM|•|ON|}{|MN|}$=$\frac{\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（1-3x_1^2）（1-3x_2^2）}{2-3（x_1^2+x_2^2）}}=\sqrt{\frac{1-3（x_1^2+x_2^2）+9x_1^2x_2^2}{2-3（x_1^2+x_2^2）}}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0得：$x_1^2x_2^2=y_1^2y_2^2=（1-4x_1^2）（1-4x_2^2）$=$1-4（x_1^2+x_2^2）+16x_1^2x_2^2$，
所以$x_1^2x_2^2=\frac{4}{15}（x_1^2+x_2^2）-\frac{1}{15}$，
$d=\sqrt{\frac{{-3（x_1^2+x_2^2）+\frac{12}{5}（x_1^2+x_2^2）+\frac{2}{5}}}{2-3（x_1^2+x_2^2）}}$
=$\sqrt{\frac{{\frac{2}{5}-\frac{3}{5}（x_1^2+x_2^2）}}{2-3（x_1^2+x_2^2）}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
所以直线MN恒与定圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{5}$相切．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线恒与一个定圆相切，主要点满足椭圆方程和两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．