Question

17．设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过M（-b，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点
（1）已知椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过N（b，0）作x轴的垂线与直线l交于P．且NP的中点在C上．求直线1的倾斜角；
（2）设B关于坐标原点的对称点为Q，求△ABQ的面积最大值（用a，b表示）．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式，求得直线l的方程，令x=b，求得P的坐标，由中点坐标公式可得中点D的坐标，代入椭圆方程，可得直线的斜率，进而得到倾斜角；
（2）设直线x=my-b，代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，可得最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线l的方程为y=k（x+b），
令x=b可得y=2kb，即P（b，2kb），
可得中点D为（b，kb），
代入椭圆方程可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有k²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有直线的倾斜角为30°或150°；
（2）设直线x=my-b，代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，可得
（a²+b²m²）y²-2mb³y+b⁴-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{2m{b}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{b}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}$，
由对称性可得△ABQ的面积为2S_△ABO，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$b•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$b•$\sqrt{\frac{4{m}^{2}{b}^{6}}{（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）^{2}}-\frac{4（{b}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}}}$
=ab²•$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}-{b}^{2}}{（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=a²+b²m²，则t≥a²，
则S_△ABO=ab²•$\sqrt{-{b}^{2}（\frac{1}{t}-\frac{1}{2{b}^{2}}）^{2}+\frac{1}{4{b}^{2}}}$，
当a²≤t≤2b²，S_△ABO取得最大值ab²•$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{2}$ab，
当t＞2b²，S_△ABO取得最大值b²•$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．
即有△ABQ的面积最大值为$\left\{\begin{array}{l}{ab，1＜\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}≤2}\\{2{b}^{2}•\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}，\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，注意运用点满足椭圆方程，以及离心率公式，考查直线的斜率和倾斜角的求法，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．