Question

8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为BC中点，若$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，则x+y=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．

解答 解：由题意作图如右图，
∵AB∥CD，AB=2CD，∴$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∵E为BC中点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
又∵$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$，
故x+y=$\frac{5}{4}$
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的几何表示与数形结合的思想应用．